Обратите внимание, что у работы и энергии одинаковые единицы измерения. Это означает, что работа может переходить в энергию. Например, для того, чтобы тело поднять на некоторую высоту, тогда оно будет обладать потенциальной энергией , необходима сила, которая совершит эту работу. Работа силы по поднятию перейдет в потенциальную энергию.

Правило определения работы по графику зависимости F(r): работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Угол между вектором силы и перемещением

1) Верно определяем направление силы, которая выполняет работу; 2) Изображаем вектор перемещения; 3) Переносим вектора в одну точку, получаем искомый угол.

На рисунке на тело действуют сила тяжести (mg), реакция опоры (N), сила трения (Fтр) и сила натяжения веревки F, под воздействием которой тело совершает перемещение r.

Работа силы тяжести

Работа реакции опоры

Работа силы трения

Работа силы натяжения веревки

Работа равнодействующей силы

Работу равнодействующей силы можно найти двумя способами: 1 способ - как сумму работ (с учетом знаков "+" или "-") всех действующих на тело сил, в нашем примере
2 способ - в первую очередь найти равнодействующую силу, затем непосредственно ее работу, см. рисунок

Работа силы упругости

Для нахождения работы, совершенной силой упругости, необходимо учесть, что эта сила изменяется, так как зависит от удлинения пружины. Из закона Гука следует, что при увеличении абсолютного удлинения, сила увеличивается.

Для расчета работы силы упругости при переходе пружины (тела) из недеформированного состояния в деформированное используют формулу

Мощность

Скалярная величина, которая характеризует быстроту выполнения работы (можно провести аналогию с ускорением , которое характеризует быстроту изменения скорости). Определяется по формуле

Коэффициент полезного действия

КПД - это отношение полезной работы, совершенной машиной, ко всей затраченной работе (подведенной энергии) за то же время

Коэффициент полезного действия выражается в процентах. Чем ближе это число к 100%, тем выше производительность машины. Не может быть КПД больше 100, так как невозможно выполнить больше работы, затратив меньше энергии.

КПД наклонной плоскости - это отношение работы силы тяжести, к затраченной работе по перемещению вдоль наклонной плоскости.

Главное запомнить

1) Формулы и единицы измерения;
2) Работу выполняет сила;
3) Уметь определять угол между векторами силы и перемещения

Если работа силы при перемещении тела по замкнутому пути равна нулю, то такие силы называют консервативными или потенциальными . Работа силы трения при перемещении тела по замкнутому пути никогда не равна нулю. Сила трения в отличие от силы тяжести или силы упругости является неконсервативной или непотенциальной .

Есть условия, при которых нельзя использовать формулу
Если сила является переменной, если траектория движения является кривой линией. В этом случае путь разбивается на малые участки, для которых эти условия выполняются, и подсчитать элементарные работы на каждом из этих участков. Полная работа в этом случае равна алгебраической сумме элементарных работ:

Значение работы некоторой силы зависит от выбора системы отсчета.

где - путь, пройденный телом за время действия силы.

После подстановки числовых значений получим.

Пример 3. Шарик массой =100 г упал с высоты =2,5 м на горизонтальную плиту и отскочил от нее вследствие упругого удара без потери скорости. Определить среднюю скорость , действовавшую на шарик при ударе, если продолжительность удара =0,1 с.

Решение. По второму закону Ньютона произведение средней силы на время ее действия равно изменению импульса тела, вызванного этой силой, т.е.

где и - скорости тела до и после действия силы; - время, в течение которого действовала сила.

Из (1) получим

Если учесть, что скорость численно равна скорости и противоположна ей по направлению, то формула (2) примет вид:

Так как шарик упал с высоты, то его скорость при ударе

С учетом этого получим

Подставив сюда числовые значения, найдем

Знак «минус» показывает, что сила направлена противоположно скорости падения шарика.

Пример 4. Для подъема воды из колодца глубиной =20 м установили насос мощностью =3,7 кВт. Определить массу и объем воды, поднятой за время =7 ч, если к.п.д. насоса =80%.

Решение. Известно, что мощность насоса с учетом к.п.д. определяется формулой

где - работа, совершенная за время; - коэффициент полезного действия.

Работа, совершенная при подъеме груза без ускорения на высоту, равна потенциальной энергии, которой обладает груз на этой высоте, т.е.

где - ускорение свободного падения.

Подставив выражение работы по (2) в (1), получим

Выразим числовые значения величин, входящих в формулу (3), в единицах СИ: =3,7 кВт = 3,7 103 Вт; =7 ч = 2,52 104 с; =80%=0,8; =20 м.

кг кг м2 с2/(с3 м м), кг=кг

Вычислим

кг=3,80 105 кг=380 т.

Чтобы определить объем воды, надо ее массу разделить на плотность

Пример 5. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на высоте =700 км. Определить скорость его движения. Радиус Земли =6,37 106 м, масса ее =5,98 1024 кг.

Решение. На спутник, как и на всякое тело, движущееся по круговой орбите, действует центростремительная сила

где - масса спутника; V- скорость его движения; - радиус кривизны траектории.

Если пренебречь сопротивлением среды и силами тяготения со стороны всех небесных тел, то можно считать, что единственной силой является сила притяжения между спутником и Землей. Эта сила и играет роль центростремительной силы.

Согласно закону всемирного тяготения

где - гравитационная постоянная.

Приравняв правые части (1) и (2), получим

Отсюда скорость спутника

Выпишем числовые значения величин в СИ: = 6,67*10-11 м3/(кг с2); =5,98 1024 кг; = 6,37 106 м; = 700 км = 7 105 м.

Проверим единицы правой и левой частей расчетной формулы (3), чтобы убедиться, что эти единицы совпадают. Для этого подставляем в формулу вместо величин их размерность в Международной системе:

Вычислим

Пример 6. Маховик в виде сплошного диска массой т = 80 кг с радиусом = 50 см начал вращаться равноускоренно под действием вращающего момента = 20 Н м. Определить: 1) угловое ускорение; 2) кинетическую энергию, приобретенную маховиком за время = 10 с от начала вращения.

Решение. 1. Из основного уравнения динамики вращательного движения,

где - момент инерции маховика; - угловое ускорение, получим

Известно, что момент инерции диска определяется формулой

Подставив выражение для из (2) в (1), получим

Выразим величины в единицах СИ: = 20 Н м; т = 80 кг; = 50 см = 0,5 м.

Проверим единицы правой и левой частей расчетной формулы (3):

1/c2 = кг х м2/(с2х кг х м2) = 1/с2

Вычислим

2. Кинетическая энергия вращающегося тела выражается формулой:

где - угловая скорость тела.

При равноускоренном вращении угловая скорость связана с угловым ускорением соотношением

где - угловая скорость в момент времени; - начальная угловая скорость.

Так как по условию задачи =0, то из (5) следует

Подставив выражение для из (6), из (2) в (4), получим

Проверим единицы правой и левой частей формулы (7):

Вычислим

Пример 7. Уравнение колеблющейся точки имеет вид.(смещение в сантиметрах, время в секундах). Определить: 1) амплитуду колебания, круговую частоту, период и начальную фазу; 2) смещение точки в момент времени с; 3) максимальную скорость и максимальное ускорение.

Решение. 1. Напишем уравнение гармонического колебательного движения в общем виде

где х - смещение колеблющейся точки; А - амплитуда колебания; -круговая частота; - время колебания; - начальная фаза.

Сравнивая заданное уравнение с уравнением (1), выпишем: А=3 см,

Период колебания определяется из соотношения

Подставляя в (2) значение, получим

2. Для определения смещения подставим в заданное уравнение значение времени:

3. Скорость колебательного движения найдем, взяв первую производную от смещения колеблющейся точки:

(Максимальное значение скорость будет иметь при =1:

Ускорение есть первая производная от скорости по времени:

Максимальное значение ускорения

Знак «минус» показывает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Нам осталось рассмотреть работу третьей механической силы - силы трения скольжения. В земных условиях сила трения в той пли иной мере проявляется при всех движениях тел.

От силы тяжести и силы упругости сила трения скольжения отличается тем, что она от координат не зависит и возникает всегда при относительном движении соприкасающихся тел.

Рассмотрим работу силы трения при движении тела относительно неподвижной поверхности, с которой оно соприкасается. В этсм случае сила трения направлена против движения тела. Ясно, что по отношению к направлению перемещения такого тела сила трения не может быть направлена под каким-нибудь другим углем, кроме угла 180°. Поэтому работа силы трения отрицательна. Вычислять работу силы трения нужно по формуле

где - сила трения, - длина пути, на протяжении которого действует сила трения

Когда на тело действует сила тяжести или сила упругости, может двигаться и в направлении силы, и против направления силы. В первом случае работа силы положительна, во втором - отрицательна. При движении тела «туда и обратно» полная работа равна нулю.

О работе силы трения этого сказать нельзя. Работа силы трения отрицательна и при движении «туда», движении обратно». Поэтому работа силы трения после возвращения тела в исходную точку (при движении по замкнутому пути) неравна нулю.

Задача. Вычислите работу силы трения при торможении поезда массой 1200 т до полной остановки, если скорость поезда в момент выключения двигателя была 72 км/ч. Решение. Воспользуемся формулой

Здесь - масса поезда, равная кг, - конечная скорость поезда, равная нулю, и - его начальная скорость, равная 72 км/ч = 20 м/сек. Подставив эти значения, получим:

Упражнение 51

1. На тело действует сила трения. Может ли работа этой силы равняться нулю?

2. Если тело, на которое действует сила трения, пройдя некоторую траекторию, вернется в исходную точку, будет ли работа сипы трения равна нулю?

3. Как изменяется кинетическая энергия тела при работе силы трения?

4. Сани массой 60 кг, скатившись с горы, проехали по горизонтальному участку дороги 20 м. Найдите работу силы трения на этом участке, если коэффициент трения полозьев саней о снег 0,02.

5. К точильному камню радиусом 20 см прижимают затачиваемую деталь с силой 20 н. Определите, какая работа совершается двигателем за 2 мин, если точильный камень делает 180 об мин, а коэффициент трения детали о камень равен 0,3.

6. Шофер автомобиля выключает двигатель и начинает тормозить в 20 м от светофора. Считая силу трения равной 4 000 к, найдите, при какой наибольшей скорости автомобиля он успеет остановиться перед светофором, если масса автомобиля равна 1,6 т?

Если сила перемещает тело на некоторое расстояние, то она совершает над телом работу.

Работа А есть произведение силы F на перемещение s .

Работа - величина скалярная.

Единица СИ работы

Работа постоянной силы

Если сила F постоянна во времени и ее направление совпадает с направлением перемещения тела, то работа W находится по формуле:

Здесь:
W(Е) - совершенная работа (Джоуль)
F - постоянная сила, совпадающая по направлению с перемещенем (Ньютон)
s - перемещение тела (метр)

Работа постоянной силы, направленной под углом к перемещению

Если сила и перемещение составляют между собой угол ? < 90?, то перемещение следует умножать на составляющую силы в направлении перемещения (или силу умножать на составляющую перемещения в направлении действия силы).

Здесь:
? - угол между вектором силы и вектором перемещения

Работа переменной силы, направленной под углом к перемещению, формула

Если сила не постоянна по величине и является функцией перемещения F =F(s) , и направлена под углом ? к перемещению, то работа есть интеграл от силы по перемещению.

Площадь под кривой на графике зависимости F от s равна работе, произведенной данной силой

Работа против сил трения

Если тело движется с постоянной скоростью (равномерно) против сил трения, то над ним совершается работа
W = Fs . При этом сила F совпадает по направлению с перемещением s и равна по величине силе трения Fтр . Работа против сил трения превращается в тепловую энергию.

Здесь:
A - работа против сил трения (Джоуль)
Fтр - сила трения (Ньютон)
? - коэффициент трения
Fнорм - сила нормального давления (Ньютон)
s - перемещение (метр)

Работа силы трения на наклонной плоскости, формула

При движении тела вверх по наклонной плоскости совершается работа против силы тяжести и силы трения. В этом случае сила, действующая в направлении перемещения, складывается из скатывающей силы Fск и силы трения Fтр . В соответствии с формулой (1)

Работа в гравитационном поле

Если тело перемещается в гравитационном поле на значительное расстояние, то совершаемую против сил гравитационного притяжения работу (например, работу для вывода ракеты в космос) нельзя вычислить по формуле A =mg ·h , потому, что сила тяжести G обратно пропорциональна расстоянию между центрами масс.

Работа, совершаемая при перемещении тела вдоль радиуса в гравитационном поле, определяется как интеграл

См. Таблицу интегралов

Здесь:
А - работа против гравитационной силы (Джоуль)
m1 - масса первого тела (кг)
m2 - масса второго тела (кг)
r - расстояние между центрами масс тел (метр)
r1 - начальное расстояние между центрами масс тел (метр)
r2 - конечное расстояние между центрами масс тел (метр)
G - гравитационная постоянная 6.67 · 10-11 (м3/(кг · сек2))

Величина работы A не зависит от формы пути от точки r1 к r2 , так как в формулу входят только радиальные составляющие dr перемещения, совпадающие с направлением силы притяжения.

формула (3) справедлива в случае любых небесных тел.

Работа затрачиваемая на деформацию

Определение:Работа, затрачиваемая на деформацию упругих тел, также накапливается в этих телах в виде потенциальной энергии.

Мощность

Мощностью P называется отношение произвольной работы А к времени t , в течение которого совершается работа.

Единица СИ мощности:

Средняя мощность

Если:
P - Средняя мощность (Ватт)
А(W) - Работа (Джоуль)
t - Время затраченное на совершение работы (секунд)
то

Примечание: Если работа пропорциональна времени, W ~t , то мощность постоянна.

Коэффициент полезного действия, КПД

Каждая машина потребляет большую мощность, чем отдает, поскольку в ней происходят потери мощности (за счет трения, сопротивления воздуха, нагревания и т.д.)

Коэффициент полезного действия представляет собой отношение полезной работы к ззатраченой работе.

Если:
? - Коэффициент полезного действия, КПД
Аполез - Полезная работа, т.е. полезная или эффективная мощность, равная подведенной мощности минус мощность потерь,
Азатр - Затраченая работа, называемая также номинальной, приводной или индикаторной мощностью

Общий коэффициент полезного действия

При многократном превращении или передаче энергии общий коэффициент полезного действия равен произведению КПД на всех ступенях преобразования энергии: