По условию задачи дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с измерениями a; b и c:
В задаче требуется найти объем, площадь поверхности и сумму длин всех ребер этого параллелепипеда.
Формула для площади поверхности
У параллелепипеда шесть граней:
- нижнее основание ABCD;
- верхнее основание A 1 B 1 C 1 D 1 ;
- четыре боковые грани AA 1 B 1 B; BB 1 C 1 C; CC 1 D 1 D; DD 1 A 1 A.
В прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками, а ребра равны:
|AB| = |CD| = |A 1 B 1 | = |C 1 D 1 | = а;
|BC| = |AD| = |B 1 C 1 | = |A 1 D 1 | = b;
|AA 1 | = |BB 1 | = |CC 1 | = |DD 1 | = c.
Сумма L длин всех 12 ребер равна:
L = 4 * a + 4 * b + 4 * c = 4 * (a + b + c);
Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей всех шести граней. Площади оснований одинаковы:
S1 = |AB| * |BC| = |A 1 B 1 | * |B 1 C 1 | = a * b;
Площади боковых граней AA 1 B 1 B и CC 1 D 1 D одинаковы и равны:
S2 = |AB| * |AA 1 | = |CD| * |CC 1 | = a * c;
Равны и площади оставшихся двух граней BB 1 C 1 C и DD 1 A 1 A:
S3 = |BC| * |BB 1 | = |AD| * |AA 1 | = b * c;
Площадь поверхности равна:
S = 2 * S1 + 2 * S2 + 2 * S3 = 2 * a * b + 2 * a * c + 2 * b * c = 2 * (a * b + a * c + b * c);
Объем прямоугольного параллелепипеда равен проведению трех его измерений:
V = S1 * |AA 1 | = a * b * c;
Вычисление требуемых параметров
Подставляя исходные данные, получаем:
L = 4 * (0,24 + 0,4 + 1,5) = 8,56 (м);
S = 2 * (0,24 * 0,4 + 0,24 * 1,5 + 0,4 * 1,5) = 2,112 (м^2);
V = 0,24 * 0,4 * 1,5 = 0,144 (м^3);
Ответ: L = 8,56 (м); S = 2,112 (м^2); V = 0,144 (м^3);
1). V = а ∙ b ∙ с – формула для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда V с длиной основания а шириной b и высотой с. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны: а = 0,24 м, b = 0,4 м, с = 1,5 м. Тогда:
V = 0,24 м ∙ 0,4 м ∙ 1,5 м = 0,144 м³.
2). S = 2 ∙ (а ∙ b + а ∙ с + b ∙ с) – площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его шести граней. Получаем:
S = 2 ∙ (0,24 м ∙ 0,4 м + 0,24 м ∙ 1,5 м + 0,4 м ∙ 1,5 м) = 2 ∙ (0,096 + 0,36 + 0,6) м² = 2 ∙ 1,056 м² = 2,112 м²
3). L = 4 ∙ (а + b + с) – сумму длин всех двенадцати рёбер параллелепипеда. Значит:
L = 4 ∙ (0,24 м + 0,4 м + 1,5 м) = 4 ∙ 2,14 м = 8,56 м.
Ответ: 0,144 м³ – объём, 2,112 м² – площадь поверхности и 8,56 м – сумму длин всех рёбер данного прямоугольного параллелепипеда.
Разделы: Математика , Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока: На практике научиться применять формулы объёма и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Инструменты: мультимедийная установка, мел, доска, макеты параллелепипедов.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
II. Устный опрос.
- Сколько ребер у прямоугольного параллелепипеда? Какой фигурой они являются?
- Сколько граней у прямоугольного параллелепипеда? Какой фигурой они являются?
- Сколько вершин у прямоугольного параллелепипеда? Какой фигурой они являются?
III. Работа по готовым чертежам.
- Что такое a, b и c?
- Как найти площадь боковой грани? Есть ли еще грани с такой же площадью?
- Как найти площадь верхней грани?
- Как найти площадь передней грани?
- Записать на доске формулу для нахождения площади поверхности параллелепипеда.
- Записать формулу для нахождения объёма параллелепипеда.
- В каких единицах измеряется площадь поверхности параллелепипеда, а в каких объём.
IV. Решить задачу по чертежу, изображенному на рисунке.
Найти площадь поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда.
- 3*4 = 12 (кв. см) - площадь передней поверхности.
- 3*5 = 15 (кв. см) - площадь боковой поверхности.
- 4*5 = 20 (кв. см) - площадь верхней поверхности.
- 2*(12+15+20) = 94 (кв. см) - площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Ответ: 94 кв.см.
V. Практическая часть. Раздать параллелепипеды
- Измерить ребра параллелепипеда (длину, высоту и ширину). Записать результаты в тетрадь.
- Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.
- Найти объем параллелепипеда.
- Подписать грань параллелепипеда площадь, которой равна
- Вариант 1 - 14 кв. см
- Вариант 2 - 18 кв. см
- Вариант 3 - 48 кв. см
VI. Письменная работа на доске с фронтальным обсуждением.
Найти площадь поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда с вырезом.
- 2*(4*5+5*5+5*4) = 130 кв. см - площадь поверхности.
- 5*5*4 = 100 куб. см - объём параллелепипеда.
Ответ: 130 кв. см и 100 куб. см.
VII. Задача с практическим содержанием.
Сколько ведер воды по 8 литров каждое, налито в аквариум, изображенный на рисунке.
Мы знаем, что 1 литр = 10 куб.дм.
- 25-5 = 20 (см) - высота налитой воды.
- 20*40*60 = 48000 (куб. см) - объём воды в аквариуме.
48000 куб. см = 48 куб. дм = 48 литров - 48:8 = 6 (вед.) - воды потребуется.
Верхней (нижней) грани будет равна ab, т.е. 7х6=42 см. Площадь одной из боковых граней будет равна bc, т.е. 6х4=24 см. Наконец, площадь передней (задней) грани будет равна ac, т.е. 7х4=28 см.
Теперь сложите вместе все три результата и умножьте полученную сумму на два. В нашем это будет выглядеть следующим образом: 42+24+28=94; 94х2=188. Таким образом, площадь поверхности данного прямоугольного параллелепипеда будет равна 188 см.
Обратите внимание
Будьте внимательны и не путайте прямоугольный параллелепипед с прямым. У прямого параллелепипеда прямоугольниками являются только боковые стороны (4 из 6-ти граней), а верхнее и нижнее основания – произвольные параллелограммы.
В качестве частного случая прямоугольного параллелепипеда может рассматриваться куб. Так как все его грани равны, то для нахождения его поверхности будет необходимо возвести длину ребра в квадрат и умножить на 6.
Источники:
- Онлайн-калькулятор, рассчитывающий площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
- как находить прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед - это многогранная фигура, состоящая из шести прямоугольников. Зная длину всех его грани, можно вычислить его объем, диагональ, площадь поверхности.
Вам понадобится
- Размеры рёбер прямоугольного параллелепипеда.
Инструкция
Расчет площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Пускай нам дан прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b, c. Тогда для того, чтобы рассчитать площадь его поверхности S, нужно воспользоваться формулой:
S = 2+(a*b+b*c+a*c)
Параллелепипед – геометрическая объемная фигура, представляющая собой частный случай четырехугольной призмы. Как и любая четырехугольная призма, параллелепипед – шестигранник, основным же отличительным свойством параллелепипеда является то, что все его противоположные грани попарно параллельны и равны между собой. Помимо объема этой фигуры практический интерес может представлять величина площади его поверхности.
Инструкция
Полная поверхности складывается из площади его боковой поверхности и площади его .
Как говорилось выше, противоположные грани параллелепипеда попарно между . Следовательно, полную параллелепипеда можно определить как удвоенную сумму площадей разных граней:
S = 2(So + Sб1 + Sб2), где Sо – площадь основания параллелепипеда; Sб1, Sб2 – площади смежных боковых граней параллелепипеда.
В общем случае, и основания параллелепипеда, и его боковые грани являются параллелограммами. Учитывая, что площадь параллелограмма можно без труда найти по любой из двух нижеприведенных формул, поиск полной площади поверхности параллелепипеда не вызовет сложностей.
Видео по теме
Полезный совет
Площадь параллелограмма можно найти по любой из формул:
1) S = ½ah, где а – основание параллелограмма; h – его высота;
2) S = ½ab∙sinα, где a,b – длины сторон параллелограмма, α – острый угол между ними.
Для решения задач, связанных с определением площади поверхности параллелепипеда, необходимо четко усвоить, что представляет собой данное геометрическое тело, какими фигурами являются его боковые грани и основание. Справиться с решением поможет знание свойств данных геометрических фигур.
Инструкция
Параллепипед – это , в основании которой лежит параллелограмм. Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого равны и параллельны. Параллелепипед имеет – верхнее и нижнее основание и 4 боковых грани. Все они являются параллелограммами. Поскольку в условии не указывается угол наклона боковых граней к основанию, можно , что призма является прямой. Отсюда следует уточнение: у прямой боковые грани – прямоугольники.
Для того чтобы найти поверхности параллелепипеда, нужно найти площадь его оснований и площадь боковой поверхности. Для этого необходимо знать длину сторон основания параллелепипеда и длину его ребра. Для определения площади основания нужно провести высоту параллелограмма. Можно считать, что эти величины известны, поскольку в условии этот пункт не оговаривается. Для удобства вводятся обозначения:AD = BC = a – основания параллелограмма;AB = CD = b – боковые стороны параллелограмма;BN = h – высота параллелограмма;AE = DL = CK = BF = H – ребро параллелепипеда.
Площадь параллелограмма определяется как произведение его основания на высоту, т.е. ah. Поскольку верхнее и нижнее основания равны, их общая площадь S = 2ah.
Поскольку боковые грани являются прямоугольниками, их площадь вычисляется как произведение сторон. Одна сторона грани AELD является ребром параллелепипеда и равняется H, а другая стороной его основания и равняется a. Площадь грани: aH. Боковые грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. Грань AELD равна грани BFKC. Их общая площадь S = 2aH.
Грань AEFB равна грани DLKC. Сторона AB совпадает с боковой стороной основания параллелепипеда и равняется b, сторона AE равна H. Площадь грани AEFB равна bH. Сумма площадей этих граней S = 2bH. Боковая поверхность параллелепипеда: 2aH+2bH.
Таким образом, общая площадь поверхности параллелепипеда: S = 2ah+2aH+2bH или S = 2(ah+aH+bH)Задача решена.
Параллелепипед – это призма, основаниями и боковыми гранями которой являются параллелограммы. Параллелепипед может быть прямым и наклонным. Как найти площадь его поверхности в том и в другом случае?
Инструкция
Параллелепипед может быть прямым и наклонным. Если его ребра перпендикулярны основаниям, он прямым. Боковые грани такого – прямоугольники. У наклонного боковые грани под углом к . Его грани представляют собой параллелограммы. Соответственно, поверхностей прямого и наклонного параллелепипеда определяются по-разному.
Общая площадь параллелепипеда представляет собой сумму площадей обеих оснований и его боковых граней:S=S1+S2.
Определите площадь основания. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, т.е. ah. Суммарная площадь обоих оснований:S1=2ah.
Определите площадь боковой поверхности параллелепипеда S1. Она складывается из суммы площадей всех боковых граней, которые являются прямоугольниками. Сторона AD грани AELD является одновременно стороной основания параллелепипеда, AD=a. Сторона LD – его ребро, LD=c. Площадь грани AELD равна произведению ее сторон, т.е. ac. Противоположные грани параллелепипеда равны, следовательно, AELD=BFKC. Их суммарная площадь – 2ac.
Сторона DC грани DLKC является боковой стороной основания параллелепипеда, DC=b. Вторая сторона грани – ребро. Грань DLKC равна грани AEFB. Их суммарная площадь – 2dc.
Площадь боковой поверхности:S2=2ac+2bc.Общая площадь поверхности параллелепипеда:S=2ah+2ac+2bc=2(ah+ac+bc).
Разница в нахождении площади поверхности прямого и наклонного параллелепипеда заключается в том, что боковые грани последнего также являются параллелограммами, следовательно, необходимо иметь значения их высот. Площадь оснований и в том, и в другом случае находится аналогично.
Видео по теме
Параллелепипед – объемная геометрическая фигура с тремя измерительными характеристиками: длиной, шириной и высотой. Все они участвуют в нахождении площади обеих поверхностей параллелепипеда: полной и боковой.
Инструкция
Параллелепипед – многогранник, построенный на основе параллелограмма. У него шесть граней, также являющихся этими двухмерными фигурами. В зависимости от того, как они расположены в , различают прямой и наклонный параллелепипед. Эта выражается в равенстве угла между основанием и боковым ребром 90°.
По тому, к какому частному случаю параллелограмма относится основание, можно выделить прямоугольный параллелепипед и наиболее распространенную его разновидность – куб. Эти формы наиболее часто встречаются в и носят стандартных. Они присущи бытовой технике, предметам мебели, электронным приборам и др., а также самим человеческим жилищам, размеры которых имеют большое значение для обитателей и риелторов.
Обычно считают характеристика представляет собой совокупность площадей его граней, вторая – та же величина плюс площади обоих оснований, т.е. сумма всех двухмерных фигур, из которых состоит параллелепипед. Следующие формулы носят название основных наряду с объемом:Sб = Р h, где Р – пeримeтр основания, h – высота;Sп = Sб + 2 S, где So – площадь основания.
Для частных случаев, куба и фигуры с прямоугольными основаниями, формулы упрощаются. Теперь уже не нужно определять высоту, которая равна длине вертикального ребра, а площадь и периметр найти гораздо легче благодаря наличию прямых углов, в их определении участвуют только длина и ширина. Итак, для прямоугольного параллелепипеда:Sб = 2 с (a + b), где 2 (а + b) – удвоенная сумма сторон основания (периметр), с – длина бокового ребра;Sп = Sб + 2 а b = 2 а с + 2 b с + 2 a b = 2 (а с + b с + а b).
У куба все ребра имеют одинаковую длину, следовательно:Sб = 4 а а = 4 а²;Sп = Sб + 2 а² = 6 а².
Параллелепипед – фигуры объемная, характеризующаяся наличием граней и ребер. Каждая боковая грань образуется двумя параллельными боковыми ребрами и соответствующими друг другу сторонами обоих оснований. Чтобы найти боковую поверхность параллелепипеда, нужно сложить площади всех его вертикальных или наклонных параллелограммов.
Инструкция
Параллелепипед – пространственная геометрическая фигура, имеющая три : длину, высоту и ширину. В связи с этим он две горизонтальные , называемые основаниями, а также четыре боковые. Все они имеют форму параллелограмма, но и частные случаи, которые упрощают не только графическое изображение задачи, но и сами расчеты.
Основными числовыми характеристиками параллелепипеда являются и объем. Различают полную и боковую поверхность фигуры, которые получаются суммированием площадей соответствующих граней, в первом случае – всех шести, во втором – только боковых.
