Треугольник являет собой одну из фундаментальных геометрических фигур, представляющих собой три пересекающихся отрезка прямых. Эта фигура была известна еще ученым Древнего Египта, Древней Греции и Древнего Китая, которые и вывели большинство формул и закономерностей, используемых учеными, инженерами и конструкторами до сих пор.
К основным составным частям треугольника относятся:
Вершины - точки пересечения отрезков.
Стороны - пересекающиеся отрезки прямых.
Исходя из этих составных частей, формулируют такие понятия, как периметр треугольника, его площадь, вписанная и описанная окружность. Еще со школы известно, что периметр треугольника представляет собой числовое выражение суммы всех трех его сторон. В то же время формул для нахождения данной величины известно великое множество, в зависимости от тех исходных данных, которые есть у исследователя в том или ином случае.
1. Самый простой способ нахождения периметра треугольника используется в том случае, когда известны числовые значения всех трех его сторон (x,y,z), как следствие:
2. Периметр равностороннего треугольника можно найти, если вспомнить, что у данной фигуры все стороны, впрочем, как и все углы, равны. Зная длину этой стороны, периметр равностороннего треугольника можно определить по формуле:
3. У равнобедренного треугольника, в отличие от равностороннего, только две боковые стороны имеют одно и то же числовое значение, поэтому в этом случае в общем виде периметр будет находиться следующим образом:
4. Следующие способы необходимы в тех случаях, когда известны числовые значения не всех сторон. Например, если в исследовании есть данные о двух сторонах, а также известен угол между ними, то периметр треугольника может быть найден с помощью определения третьей стороны и известного угла. В этом случае эта третья сторона будет найдена по формуле:
z= 2x+2y-2xycosβ
Исходя из этого, периметр треугольника будет равен:
P= x+y+2x+(2y-2xycos β)
5. В том случае, когда изначально дана длина не более чем одной стороны треугольника и известны числовые величины двух углов прилегающих к ней, то периметр треугольника можно вычислить, опираясь на теорему синусов:
P = x+sinβ х/(sin(180°-β)) + sinγ x/(sin(180°-γ))
6. Бывают случаи, когда для нахождения периметра треугольника используются известные параметры вписанной в него окружности. Данная формула также известна большинству еще со школьной скамьи:
P= 2S/r (S - площадь окружности, тогда как r - ее радиус).
Из всего вышеприведенного видно, что величина периметра треугольника может быть найдена множеством способов, исходя из тех данных, которыми владеет исследователь. Кроме того, есть еще несколько частных случаев нахождения данной величины. Так, периметр является одной из важнейших величин и характеристик прямоугольного треугольника.
Как известно, таким треугольником называют фигуру, две стороны которой образуют прямой угол. Периметр прямоугольного треугольника находится через числовое выражение суммы обоих катетов и гипотенузы. В том случае, если исследователю известны данные только о двух сторонах, оставшуюся можно вычислить с помощью знаменитой теоремы Пифагора: z= (x2 + y2), если известны оба катета, или x= (z2 - y2), если известна гипотенуза и катет.
В том случае, если известна длина гипотенузы и один из прилежащих у ней углов, то две другие стороны находятся по формулам: х= z sinβ , y= z cosβ. В этом случае периметр будет равен:
P= z(cosβ + sinβ +1)
Также частным случаем является вычисление периметра правильного (или равностороннего) треугольника, то есть такой фигуры, у которой все стороны и все углы равны. Вычисление периметра такого треугольника по известной стороне никакой проблемы не составляет, однако, зачастую исследователю известны какие-то другие данные. Так, если известен радиус вписанной окружности, периметр правильного треугольника находится по формуле:
А если дана величина радиуса описанной окружности, периметр правильного треугольника будет найден следующим образом:
Формулы нужно запомнить, чтобы успешно применть на практике.
Предварительные сведения
Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.
Определение 1
Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).
Определение 2
Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.
Определение 3
Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.
Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.
В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.
Определение 4
Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.
Определение 5
Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.
Определение 6
Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.
Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.
Как найти периметр разностороннего треугольника?
Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.
Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.
Пример 1
Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.
$P=34+12+11=57$ см
Ответ: $57$ см.
Пример 2
Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.
Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда
$α=10$ По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим
$P=10+8+6=24$ см
Ответ: $24$ см.
Как найти периметр равнобедренного треугольника?
Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.
По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что
$P=α+α+β=2α+β$
Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.
Пример 3
Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.
По рассмотренному выше примеру, видим, что
$P=2\cdot 12+11=35$ см
Ответ: $35$ см.
Пример 4
Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.
Рассмотрим рисунок по условию задачи:
Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.
По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда
По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим
$P=2\cdot 10+12=32$ см
Ответ: $32$ см.
Как найти периметр равностороннего треугольника?
Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.
По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что
$P=α+α+α=3α$
Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.
Пример 5
Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.
По рассмотренному выше примеру, видим, что
$P=3\cdot 12=36$ см
Периметр – это величина, подразумевающая длину всех сторон плоской (двумерной) геометрической фигуры. Для разных геометрических фигур существуют разные способы нахождения периметра.
В данной статье вы узнаете как находить периметр фигуры разными способами, в зависимости от известных его граней.
Возможные методы:
- известны все три стороны равнобедренного или любого другого треугольника;
- как найти периметр прямоугольного треугольника при двух известных его гранях;
- известны две грани и угол, который расположен между ними (формула косинусов) без средней линии и высоты.
Первый метод: известны все стороны фигуры
Как находить периметра треугольника, когда известны все три грани
, необходимо использовать следующую формулу: P = a + b + c, где a,b,c – известные длины всех сторон треугольника, P – периметр фигуры.
Например, известны три стороны фигуры: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Это правильная равнобедренная фигура, чтобы вычислить периметр пользуемся формулой: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.
Данная формула подходит к любому треугольнику , необходимо просто знать длины всех его сторон. Если хотя бы одна из них неизвестна, необходимо воспользоваться другими способами, о которых мы поговорим ниже.
Еще один пример: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Вычисляем периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.
Очень важно помечать единицу измерения в полученном ответе. В наших примерах длины сторон указаны в сантиметрах (см), однако, существуют разные задачи, в условиях которых присутствуют другие единицы измерения.
Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны
В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.
Описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника. Формула, описываемая этой теоремой, является одной из самых известных и наиболее часто применяемых теорем в геометрии. Итак, сама теорема:
Стороны любого прямоугольного треугольника описываются таким уравнением: a^2 + b^2 = c^2, где а и b – катеты фигуры, а c – гипотенуза.
- Гипотенуза . Она всегда расположена противоположно прямому углу (90 градусов), а также является самой длинной гранью треугольника. В математике принято обозначать гипотенузу буквой c.
- Катеты – это грани прямоугольного треугольника, которые относятся к прямому углу и обозначаются буквами а и b. Один из катетов одновременно является и высотой фигуры.
Таким образом, если условиями задачи заданы длины двух из трех граней такой геометрической фигуры, с помощью теоремы Пифагора необходима найти размерность третьей грани, после чего воспользоваться формулой из первого метода.
Например, мы знаем длину 2-х катетов: a = 3 см, b = 5 см. Подставляем значения в теорему: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c^2 => c = 5 см. Итак, гипотенуза такого треугольника равна 5 см. К слову, данный пример является самым распространенным и называется . Иными словами, если два катета фигуры равны 3 см и 4 см, то гипотенуза составит 5 см соответственно.
Если неизвестна длина одного из катетов, необходимо преобразовать формулу следующим образом: c^2 – a^2 = b^2. И наоборот для другого катета.
Продолжим пример. Теперь необходимо обратиться к стандартной формуле поиска периметра фигуры: P = a + b + c. В нашем случае: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.
Третий метод: по двум граням и углу между ними
В старшей школе, а также университете, чаще всего приходится обращаться именно к данному способу нахождения периметра. Если условиями задачи заданы длины двух сторон, а также размерность угла между ними, то необходимо воспользоваться теоремой косинусов .
Данная теорема применима абсолютно к любому треугольнику, что и делает ее одной из наиболее полезных в геометрии. Сама теорема выглядит следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 – (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c – стандартно длины граней, а A,B и С – это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A – угол, противолежащий стороне a и так далее.
Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.
Все, что нужно сделать в данном случае – это подставить все известные значения в теорему косинусов. Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними. Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень – это будет третья, неизвестная до этого сторона.
После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.
Одной из базовых геометрических фигур является треугольник. Он образуется при пересечении трех отрезков прямых. Данные отрезки прямых формируют стороны фигуры, а точки их пересечения называются вершинами. Каждый школьник, изучающий курс геометрии, обязан уметь находить периметр этой фигуры. Полученное умение будет полезным для многих и во взрослой жизни, к примеру, пригодится студенту, инженеру, строителю,
Существуют разные способы найти периметр треугольника. Выбор необходимой для вас формулы зависит от имеющихся исходных данных. Чтобы записать данную величину в математической терминологии используют специальное обозначение – Р. Рассмотрим, что такое периметр, основные способы его расчета для треугольных фигур разных видов.
Самым простым способом найти периметр фигуры, если есть данные всех сторон. В этом случае используется следующая формула:
Буквой «P» обозначается сама величина периметра. В свою очередь «a», «b» и «c» – это длины сторон.
Зная размер трех величин, достаточно будет получить их сумму, которая и является периметром.
Альтернативный вариант
В математических задачах все данные длины редко бывают известны. В таких случаях рекомендуется воспользоваться альтернативным способом поиска нужной величины. Когда в условиях указана длина двух прямых, а также угол, находящийся между ними, расчет производится через поиск третьей. Для поиска этого числа необходимо добыть квадратный корень по формуле:
.
Периметр по двум сторонам
Для расчета периметра не обязательно знать все данные геометрической фигуры. Рассмотрим способы расчета по двум сторонам.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называется такой треугольник, не меньше двух сторон которого имеют одинаковую длину. Они называются боковыми, а третья сторона – основанием. Равные прямые образовывают вершинный угол. Особенностью в равнобедренном треугольникеявляется наличие одной оси симметрии. Ось – вертикальная линия, выходящая из вершинного угла и заканчивающаяся посредине основания. По своей сути ось симметрии включает в себя такие понятия:
- биссектриса вершинного угла;
- медиана к основанию;
- высота треугольника;
- срединный перпендикуляр.
Чтобы определить периметр равнобедренного вида треугольной фигуры, воспользуйтесь формулой.
В данном случае вам необходимо знать только две величины: основание и длину одной стороны. Обозначение «2а» подразумевает умножение длины боковой стороны на 2. К полученной цифре нужно добавить величину основания – «b».
В исключительном случае, когда длина основания равнобедренного треугольника равна его боковой прямой, можно воспользоваться более простым способом. Он выражается в следующей формуле:
Для получения результата достаточно умножить это число на три. Эта формула используется для того, чтобы найти периметр правильного треугольника.
Полезное видео: задачи на периметр труегольника
Треугольник прямоугольный
Главным отличием прямоугольного треугольника от других геометрических фигур этой категории является наличие угла 90°. По этому признаку и определяется вид фигуры. Прежде, чем определить, как найти периметр прямоугольного треугольника, стоит заметить, что данная величина для любой плоской геометрической фигуры составляет сумму всех сторон. Так и в этом случае самый простой способ узнать результат – суммировать три величины.
В научной терминологии те стороны, которые прилегают к прямому углу, имеют название «катеты», а противоположная к углу 90º – гипотенуза. Особенности этой фигуры исследовались еще древнегреческим ученым Пифагором. Согласно с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
.
На основании данной теоремы выведена еще одна формула, объясняющая, как найти периметр треугольника по двум известным сторонам. Рассчитать периметр при указанной длине катетов можно, используя следующий способ.
.
Чтобы узнать периметр, имея информацию о размере одного катета и гипотенузы, нужно определить длину второй гипотенузы. С этой целью используют такие формулы:
.
Также периметр описанного вида фигуры определяется и без данных о размерах катетов.
Вам потребуется знать длину гипотенузы, а также угол, прилегающий к ней. Зная длину одного из катетов, если имеется угол, прилегающий к нему, периметр фигуры рассчитывают по формуле:
.
Расчет через высоту
Рассчитать периметр таких категорий, как равнобедренные и прямоугольные треугольники, можно через показатель их средней линии. Как известно, высота треугольника разделяет его основание пополам. Таким образом, она образует две прямоугольных фигуры. Далее, нужный показатель вычисляется при помощи теоремы Пифагора. Формула будет иметь следующий вид:
.
Если известна высота и половина основания, используя этот способ, вы получите нужное число без поиска остальных данных о фигуре.
Полезное видео: нахождение периметра треугольника
